بسم الله الرحمان الرحيم

اخي الكريم ، اختي الكريمة


ساقدم لكم اليوم ان شاء الله عُصارةً للجذع المشترك


و ذلك عن طريق دروس شاملة


لذلك قدِّروا مجهودي و لا تبخلوا علي بالردود


"ساضع الدروس واحدة واحدة و ليس في نفس اليوم لان ذلك عسير جدا

لذا ساضع درسا او اثنين في اليوم"

على بركة الله







1-الرياضيات





مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية و مبادئ في الحسابيات










القدرات المنتظرة







*- توظيف الزوجية وتفكيك عدد إلى جداء عوامل أولية في حل بعض المسائل البسيطة

حول الأعداد الصحيحة الطبيعية.



-I-مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية :




-1 مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية:


*نشاط*



من بين الأعداد التالية حدد تلك التي تمثل أعدادا صحيحة طبيعية:




5 ; 4+16 ; 5/2 ; 12-23 ; 15/3 ; 2.15

*تعريف*

الأعداد 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , .... , n ;تسمى أعدادا صحيحة طبيعية و
تكون مجموعة تسمى مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية نرمز لها ب .N



نكتب ( 0 , 1 , 2 , ....)=N



مصطلحات و ترميز

*- العدد 0 يسمى العدد الصحيح الطبيعي المنعدم
*- مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية الغير المنعدمة نرمز لها بالرمز *N





2-الأعداد الزوجية – الأعداد الفردية:






*تعريف*


- نقول إن العدد الصحيح الطبيعي a عدد زوجي إذا وفقط آان يوجد عدد صحيح
طبيعي k حيث : a=2k-نقول إن العدد الصحيح الطبيعي a عدد فردي إذا وفقط آان
يوجد عدد صحيح طبيعي k حيث a=2k+1


*أمثلة*



الأعداد 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , .. أعداد زوجية


الأعداد 1 , 3 , 5 , 7 , 9 .....أعداد فردية

*ملاحظات*


*- العدد الصحيح الطبيعي هو إما عدد زوجي أو عدد فردي

*- مجموع عددين زوجيين هو عدد زوجي
*-مجموع عددين فرديين هو عدد زوجي
*-مجموع عدد زوجي و عدد فردي هو عدد فردي

II- مضاعفات عدد – قواسم عدد :





1-مضاعفات عدد:

*تعريف*

ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين حيث b غير منعدم

نقول إن العدد a مضاعف للعدد b إذا وفقط إذا وجد عدد صحيح طبيعي k حيث a=bk
*أمثلة*

- الأعداد 0 , 5 , 10 , 15 ... 1755 مضاعفات للعدد 5

-22 ليس مضاعف للعدد 4
* ليكن b عنصراً من *N

0×k =0

مضاعفات b هي الأعداد kb حيث k ينتمي الى N

*خاصية*

* لكل عدد صحيح طبيعي غير منعدم ما لنهاية من المضاعفات

* للعدد 0 مضاعف وحيد هو 0*المضاعف المشترك الأصغر*
ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين
المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b هو أصغر مضاعف مشترك غير منعدم للعددين a و b نرمز له بالرمز ppcm




أمثلة

ppcm (4;9) = 36
ppcm (6;10)=30

-2قواسم عدد:


*تعريف*


ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين حيث b غير منعدم

نقول إن العدد b قاسم للعدد a إذا وفقط إذا وجد عدد صحيح طبيعي k حيث a=bk

*ملاحظة*


العدد b قاسم للعدد a إذا وفقط إذا العدد a مضاعف للعدد b


-آلعدد آلصحيح آلطبيعي غير منعدم مخالفا ل 1 له على الاقل قاسمان 1 و نفسه
- للعدد 1 قاسم وحيد هو نفسه
-جميع الأعداد الصحيحة الطبيعية الغير المنعدمة تقسم 0

نقول أيضا العدد a قابل للقسمة على b

*القاسم المشترك الأآبر لعددين*

تعريف:


ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين

القاسم المشترك الأآبر للعددين a و b هو اآبر قاسم مشترك لهما
نرمز له بالرمز pgcd


مثال:

pgcd(126;90)=18
pgcd(4;9)=1

III-الأعداد الأولية :





1- تعريف:

نسمي عددا أوليا آل عدد صحيح طبيعي له قاسمان بالضبط

*أمثلة*


-حدد الأعداد الأولية الأصغر من 40الأعداد الأولية الأصغر من 40 هي: 2,3,7,11,13,17,19,23,29,31,37





2-التفكيك إلى جداء عوامل أولية لعدد غير أولي مبرهنة (مقبولة

كل عدد صحيح طبيعي n هو عدد أولي أو جداء عوامل أولية .

أمثلة:




تعريف:

41 عدد أولي
72 عدد غير أولي و 72 = 8×9 = 3×3×2×2×2

ليكن a عددا صحيحا طبيعيا غير أولي

كتابة a على شكل جداء عوامله أولية تسمى " التفكيك إلى جداء عوامل أولية" للعدد a


فكك الأعداد 24;319;1344 إلى جداء عوامل أولية

أمثلة:




24=8×3=2×2×2×3
319=11×29
1344=4×4×4×21=2×2×2×2×2×2×3×7

تقنية للتفكيك


-لتفكيك عدد صحيح طبيعي غير منعدم a نأخذ اصغر عدد أولي يقسم a و ننجز
القسمة فنحصل على عدد b خارج القسمة فنأخذ اصغر عدد أولي يقسم b فنحصل على
خارج القسمة .......و نتابع على هذا المنوال حتى نحصل على خارج يساوي 1 .


العدد a سيكون هو جداء جميع الأعداد الأولية التي قسمنا بها .




إضافات





* طريقة لتحديد المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b حيث a>b



أحدد مضاعفات a ثم أتآكد بالتتابع ابتداء من أصغر مضاعف غير منعدم للعدد a
هل هو مضاعف للعدد b , فإذا آان الجواب لا ، أتابع البحث إن آان نعم ،
أتوقف و العدد الذي حصلت فيه على هذا الجواب هو المضاعف المشترك الأصغر
للعددين a و b .

**طريقة لتحديد القاسم المشترك الآكبر للعددين a و b حيث a>b


أحدد قواسم العدد b ثم أتآكد بالتتابع تناقصيا ابتداء من أآبر قاسم للعدد b
هل هو قاسم للعدد a فإذا آان الجواب لا ، أتابع البحث ان آان نعم ، أتوقف و
العدد الذي حصلت فيه على هذا الجواب هو القاسم المشترك الأآبر للعددين a و
b .

***طريقة لتحديد ما إذا كان العدد a أوليا أم لا
نحدد أولا جميع الأعداد الأولية p حيث p×p
-إذا كان a يقبل القسمة على أحد هذه الأعداد فان a غير أولي
-إذا كان a لا يقبل القسمة على أي عدد من هذه الأعداد فان a أولي

اقتباس:

المجموعات: IN; IR;Q;Z;ID 1-مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية : *مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية هي (..., IN=(0,1,2,3,4 آل عدد صحيح طبيعي هو عدد صحيح نسبي نقول ان المجموعة IN جزء من المجموعة Z أو المجموعة IN ضمن المجموعة Z 2-مجموعة الأعداد العشرية النسبية: *تعريف:كل عدد له كتابة كسرية على شكل a/10 n *نتائج: -العدد العشري له آتابة بعدد منته من الأرقام على يمين الفاصلة -كل عدد صحيح نسبي a هو عدد عشري نسبي *تعريف* العدد الجدري هو كل عدد يمكن كتابته على شكل a/b حيث a ينتمي الى Z و b ينتمي الى Z و b يخالف الصفر يرمز لمجموعة الاعداد الجذرية بQ -3/7 عدد جذري ; 6 عدد جذري ; -1.36 عدد جذري ; جذر 3 ليس عددا جذريا. الاعداد الجذرية و الاعداد لا جذرية تكون مجموعة تسمى مجموعة الاعداد الحقيقية يرمز لها ب IR الاعداد الصحيحة الطبيعية و مقابلاتها تكون مجموعة الاعداد الصحيحة النسبية يرمز لها بZ نكتب (... Z=(-3,-2,-1,0,1,2,3 ملاحظة: نرمز لمجموعة الاعداد العشرية النسبية ب ID 3-مجموعة الأعداد الجذرية: 4-مجموعة الأعداد الحقيقية:

اقتباس:

الترتيب في IR *تعريف: ليكن a و b عددين حقيقيين a>b يعني a-b>0 a<0 * خاصيات و نتائج: ليكن a و b و c و d أعداد حقيقية إذاكان a>b و b>c فان a>c x,b,a أعداد حقيقية حيث a≤x≤b a+b/2 قيمة مقربة للعدد x بالدقة a-b/2 *المجالات: مجموعة الاعداد حيث: ترميزها قراءة و تمثيل على المستقيم X الحقيقية a;b] a≤x≤b a;b[ a≺x≺b a;b[ a≤x≺b a;b] a≺x≤b a;+∞[ a≤x a;+∞[ a≺x ]−∞,b] x ≤ b ]−∞;b[ x ≺ b b مفتوح في b ، يقرأ المجال ناقص لانهاية *القيمة المطلقة : -ليكن Δ(O;I مستقيما مدرجا القيمة المطلقة لكل عدد حقيقي x هي المسافة بين النقطة M التي أفصولها x و النقطة o . إذاكان a>b فان a+c>b+c إذاكان a> b و c>d فان a+c>b+d إذاكان a>b و c>0 فان ac>bc إذاكان a>b و c<0 فان ac إذاكان a>b>0 فان a2>b2 إذاكان 0 يقرأ المجال المغلق الذي طرفاه a و b يقرأ المجال المفتوح الذي طرفاه a وb يقرأ المجال المفتوح على اليمين الذي طرفاه a و b يقرأ المجال المفتوح على اليسار الذي طرفاه a و b يقرأ المجال زائد ما لانهاية مغلق في a يقرأ المجال زائد ما لانهاية مفتوح في a مغلق في b ، يقرأ المجال ناقص لانهاية ليكن x من IR إذاكان x>0 فان x=x إذاكان x<0 فان x=-x

اقتباس:

المعادلات و المتراجحات من الدرجة الاولى والثانية بمجهول واحد -جميع حلول معادلة (أو متراجحة) تكون مجموعة تسمى مجموعة حلول المعادلة (أو المتراجحة) نرمز لها ب S أو S' .... -نقول ان معادلتين (أو متراجحين) متكافئتان إذا آانت للمعادلتين (أو للمتراجحتين) نفس مجموعة الحلول. *المعادلة التالفية: كل معادلة يمكن آتابتها على شكلax+b=0 تسمى معادلة تالفية x∈ IR *المتراجحات التالفية بمجهول واحد: آل متراجحة يمكن آتابتها على شكل ax+b≺0 x∈ IR أو ax+b≤0 أو x∈ IR أو ax+b≥0 x∈ IR أو ax+b>0 حيث a,b)∈ IR2 *المعادلات من الدرجة الثانية بمجهول واحد: نسمي معادلة من الدرجة الثانية في IR كل معادلة على الشكل ax² +bx+c =0 حل المعادلة يتوقف على إشارة العدد b² − 4ac الذي يسمى مميز المعادلة ax 2 +bx +c =0 نرمز له ب Δ نكتب Δ =b² − 4ac *إذا كان Δ ≺0 فان المعادلة لا تقبل حلا في IR **إذا كان Δ =0 فان x=-b/2a *** إذا كان Δ >0 فان ax ² + bx +c =0 تكافئ x+b/2a)²-Δ/4a²=0 Δ = 4(b'2 −ac نضع Δ'=b'2−ac " ان هاته الدروس اهيئها بنفسي من دفتري الخاص لذلك هي تتطلب مني الوقت" :thumbs-up[1]: و تسمى معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد إذا كان a ≠0 و تسمى متراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد إذا كان a ≠0 حيث a و b و c أعداد حقيقية و a غير منعدم. اشارة Δ هي اشارة 'Δ العدد ' Δ يسمى المميز المختصر للمعادلة